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赌的学问

2016年01月19日 10:55 来源于 财新网
虽然大家都知道泡沫不可持续,泡沫继续上涨的几率远低于下跌的几率,但是只要输的损失不大(如政府救市兜底),赢的回报足够大,大家还是会趋之若鹜,疯狂推高泡沫。这其实是非理性中的理性选择

  【财新网】(专栏作家 贝乐斯)从数学的角度看,投资与赌博没有本质的区别,都是在信息不完全,不确定的情况下决策,希望获得最大回报。

  都说股市是赌场,但是赌也是有学问的。凯利公式就是这样一种学问。这个公式要解决的是赌博者多次下注时每次投入本金的最佳百分比。利用这个最佳百分比,赌博者可以获得最快的财富增长。

  假设用投掷硬币的方式赌博。正面赢,获得下注的等额回报。反面输,损失全部下注。假设正面的概率为p,反面的概率为q,每次下注金额占本金的比例为f,原始本金为x,每次下注则为xf。那么选取什么样的f值能让n次投注后的财富增长最多呢?这就是凯利公式要解决的问题。

1
  从上图可以看出经过n次投注后赌博者所剩的财富的公式。而我们需要找到一个最佳的f值,让这个n次投注后的终值与最初的x值的比例最大。这个比例可以稍加变换:

2
  实际上就变成了求下面这个公式的最大值:

3
  根据大数定律,可以进一步转换为:

4
  取一阶导数,并令其等于零,则可以得出最佳的投注比例:

5
  为了数学上的严谨性,我们还要看二阶导数:

5
  由于二阶导数小于零,所以一阶导数在[0,1)区间是严格单调下降的。由于在原点处一阶导数大于零,在f趋近1时一阶导数趋近负无穷。

责任编辑:张帆 | 版面编辑:张柘
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